Question

已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．
（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为

 

．
（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．
（3）如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠CBE=

1

2

∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后等边对等角的性质可得∠F=∠CEF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠F=30°，从而得到∠CBE=∠F，根据等角对等边的性质即可证明；
（2）图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，根据菱形的性质结合∠ABC=60°可得△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ACB=60°，再求出△AGE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AG=AE，从而可以求出BG=CE，再根据等角的补角相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“边角边”证明△BGE和△ECF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（3）图3，证明思路与方法与图2完全相同．

解答：（1）答：猜想BE与EF的数量关系为：BE=EF；
证明：（1）∵△ABC是等边三角形，E是线段AC的中点，
∴∠CBE=

1

2

∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；

（2）答：猜想BE=EF．
证明如下：如图2，过点E作EG∥BC，交AB于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
在△BGE与△ECF中，

BG=CE ∠BGE=∠ECF=120° GE=CF

，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF； 

（3）BE=EF．
证明如下：如图3，过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG=AE，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=60°，
∴在△BGE与△ECF中，

BG=EC ∠BGE=∠ECF=60° GE=CF

，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键．