Question

已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙O交斜边AB于E，OD∥AB．求证：①ED是⊙O的切线；②2DE²=BE•OD．

Answer 1

证明：①连接OE，
∵OD∥AB，
∴∠COD=∠A，∠DOE=∠OEA，
∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∴∠COD=∠DOE，
在△COD和△EOD中，

OC=OE ∠COD=∠EOD OD=OD

，
∴△COD≌△EOD（SAS），
∴∠OCD=∠OED=90°，
∴DE⊥OE，
则DE为圆O的切线；
②由△COD≌△EOD，得到CD=ED，
∵BC为圆O的切线，BA为圆O的割线，
∴BC²=BE•BA，
∵O为AC的中点，OD∥AB，
∴D为BC的中点，即OD为△ABC的中位线，
∴BA=2OD，BC=2CD=2DE，
则4DE²=BE•2OD，即2DE²=BE•OD．