【题目】如图,二次函数y=x2﹣6
x+5
的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,连接BC.
(1)直接写出点B、C的坐标,B ;C .
(2)点P是y轴右侧拋物线上的一点,连接PB、PC.若△PBC的面积15,求点P的坐标.
(3)设E为线段BC上一点(不含端点),连接AE,一动点M从点A出发,沿线段AE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止,当点E的坐标是 时,点M在整个运动中用时最少,最少用时是 秒.
(4)若点Q在y轴上,当∠AQB取得最大值时,直接写出点Q的坐标 .
【答案】(1)(0,5);(5,0);(2)P点坐标为:(2,﹣3 )、(3,﹣4 )、(﹣1,10 )或(6,5 );(3)(4,
),(2
+1);(4)(3,
).
【解析】
(1)将x=0和y=0分别代入y=x2﹣6
x+5
,即可求得B、C的坐标;(2)设x轴上点D,使得△DBC的面积15
,求出BD的长,再求直线BC的解析式,得到D点坐标为(﹣1,0)或(11,0),分类讨论D坐标为(﹣1,0)与(11,0)的情况,根据过点D平行于BC的直线l与抛物线交点为满足条件的P求出所有满足条件的P点的坐标;(3)由已知,当AE最短时,M用时最少,当AE⊥BC于点E时,AE最短,根据三角函数求得AE与EB的长,进而求出E点的坐标以及M点运动的最少时间;(4)以AB边为弦作圆,圆心F在x轴上方,当圆半径越大,x轴上方的点与AB两点连线夹角越大
当圆F与y轴切于点Q时,∠AQB取得最大值,如图,连FA、FB、FQ,作FH⊥AB于点H,求出QF与FH的长,即可求得点Q坐标.
解:(1)当x=0时,y=5
当y=0时, x2﹣6
x+5
=0
解得
x1=1,x2=5
故答案为:(0,5);(5,0)
(2)设x轴上点D,使得△DBC的面积15.
∴BDOC=15
,
解得BD=6
∵C(0,5);B(5,0)
则可求直线BC解析式为:y=﹣x+5
x
故点D坐标为(﹣1,0)或(11,0)
当D坐标为(﹣1,0)时,过点D平行于BC的直线l与抛物线交点为满足条件的P
则可求得直线l的解析式为:y=﹣x-
求直线l与抛物线交点得:
x2﹣6
x+5
=﹣
x-
解得
x1=2,x2=3
则P点坐标为(2,﹣3)或(3,﹣4
)
同理当点D坐标为(11,0)时,直线l的解析式为y=﹣x+11
求直线l与抛物线交点得:
x2﹣6
x+5
=﹣
x+11
解得
x1=﹣1,x2=6
则点P坐标为(﹣1,10),(6,5
)
综上满足条件P点坐标为:(2,﹣3)、(3,﹣4
)、(﹣1,10
)或(6,5
)
(3)由已知,当AE最短时,M用时最少
则AE⊥BC于点E,由已知,∠ABC=60°,AB=4
∴AE=2,EB=2
∴点E坐标为(4,),点M在整个运动中用时最少为(2
+1)秒
故答案为:(4,),(2
+1)
(4)以AB边为弦作圆,圆心F在x轴上方,当圆半径越大,x轴上方的点与AB两点连线夹角越大
当圆F与y轴切于点Q时,∠AQB取得最大值.
如图:连FA、FB、FQ,作FH⊥AB于点H
则可知AH=2
∴QF=OH=3
∴FH==
∴点Q坐标为(3,)
故答案为:(3,)
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,点A为切点,BP与⊙O交于点C,点D是AP的中点,连结CD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AB=2,∠P=30°,求阴影部分的面积.
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【题目】甲、乙两人用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏:分别转动两个转盘,若转盘停止后,指针指向一个数字(若指针恰好停在分格线上,则重转一次),用所指的两个数字作乘积,如果积大于10,那么甲获胜;如果积不大于10,那么乙获胜.清你解决下列问题:
(l)利用树状图(或列表)的方法表示游戏所有可能出现的结果;
(2)求甲、乙两人获胜的概率,并说明游戏是否公平.
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【题目】如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度,该楼底层为车库,高2.5米;上面五层居住,每层高度相等,测角仪支架离地1.5米,在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°,在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°,AB=14米,求居民楼的高度.(精确到0.1米,参考数据:≈1.73)
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【题目】如图①,△ABC为等腰直角三角形, △ABD为等边三角形,连接CD.
(1)求∠ACD的度数;
(2)如图①,作∠BAC的平分线交CD于点E,求证:DE=AE+CE;
(3)如图②,在(2)的条件下,M为线段BC右侧一点,满足∠CMB=60°,求证:ME平分∠CMB.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣4,0)、B(0,3),对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…,则第(5)个三角形的直角顶点的坐标是_____,第(2018)个三角形的直角顶点的坐标是______.
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【题目】有A、B两个港口,水由A流向B,水流的速度是4千米/小时,甲、乙两船同时由A顺流驶向B,各自不停地在A、B之间往返航行,甲在静水中的速度是28千米/小时,乙在静水中的速度是20千米/小时.
设甲行驶的时间为t小时,甲船距B港口的距离为S1千米,乙船距B港口的距离为S2千米,如图为S1(千米)和t(小时)函数关系的部分图象.
(1)A、B两港口距离是_____千米.
(2)在图中画出乙船从出发到第一次返回A港口这段时间内,S2(千米)和t(小时)的函数关系的图象.
(3)求甲、乙两船第二次(不算开始时甲、乙在A处的那一次)相遇点M位于A、B港口的什么位置?
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【题目】已知,等边三角形ABC的边长为5,点P在线段AB上,点D在线段BC上,且△PDE是等边三角形.
(1)初步尝试:若点P与点A重合时(如图1),BD+BE= .
(2)类比探究:将点P沿AB方向移动,使AP=1,其余条件不变(如图2),试计算BD+BE的值是多少?
(3)拓展迁移:如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=70°,点P在线段AB的延长线上,点D在线段CB的延长线上,在△PDE中,PD=PE,∠DPE=70°,设BP=a,请直接写出线段BD、BE之间的数量关系(用含a的式子表示)
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(2,0),正六边形ABCDEF沿x轴正方向无滑动滚动,每旋转60°为滚动1次,那么当正六边形ABCDEF滚动2017次时,点F的坐标是( )
A. (2017,0) B. (2017,
) C. (2018,
) D. (2018,0)
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