Question

四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，顺次连接点EFGH．
（1）四边形EFGH是什么四边形？请证明．
（2）四边形ABCD有什么条件时，四边形EFGH是菱形？
（3）四边形EFGH可能是正方形吗？

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：（1）根据三角形的中位线定理，可以证明四边形EFGH的一组对边平行且相等，则该四边形是平行四边形．
（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥AB且EF=

1

2

AB，同理可得GH∥AB且GH=

1

2

AB，EH∥DC且EH=

1

2

DC，然后证明四边形EFGH是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．
（3）正方形是一特殊的菱形：内角是直角的菱形为正方形．所以当（2）中的菱形EFGH邻边相互垂直即可证得该菱形是正方形．

解答：解：（1）四边形EFGH是平行四边形．
理由如下：
∵点E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，
∴EF=

1

2

AB，EF∥AB，GH∥AB，GH=

1

2

AB．
∴EF∥GH，EF=GH．
∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）当AB=CD时，四边形EFGH是菱形，
理由如下：∵E，F分别是AD，BD的中点，
∴EF∥AB且EF=

1

2

AB，
同理可得：GH∥AB且GH=

1

2

AB，EH∥DC且EH=

1

2

DC，
∴EF∥GH且EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AB=CD，
∴

1

2

AB=

1

2

CD，
即EF=EH，
∴?EFGH是菱形．

（3）当AB=CD且AB⊥CD时，四边形EFGH是正方形；
理由：如图所示：
∵AB⊥CD，GH∥AB，EH∥CD，
∴EH⊥GH，
即∠EHG=90°，
∵当AB=CD时，四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．

点评：此题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的判定和菱形的判定以及正方形的判定等知识，熟练掌握正方形与菱形的判定是解题关键．