Question

6．如图，在Rt△OAA₁中，∠OAA₁=90°，OA=$\sqrt{3}$，∠AOA₁=30°，以OA₁为直角边作Rt△OA₁A₂，∠A₁OA₂=30°，以OA₂为直角边作Rt△OA₂A₃，∠A₂OA₃=30°…则OA₂₀₁₆的长度为$\frac{{2}^{2016}\sqrt{3}}{{3}^{1008}}$．

Answer 1

分析 由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OA₁、OA₂，得出规律，即可得出结果．

解答 解：∵∠OAA₁=90°，OA=$\sqrt{3}$，∠AOA₁=30°，
∴AA₁=$\frac{1}{2}$OA₁，
由勾股定理得：OA²+AA₁²=OA₁²，
即（$\sqrt{3}$）²+（$\frac{1}{2}$OA₁ ）²=OA₁²，
解得：OA₁=2，
同理：OA₂=$\frac{{2}^{2}}{\sqrt{3}}$，…，OA_n=$\frac{{2}^{n}}{（\sqrt{3}）^{n-1}}$，
∴OA₂₀₁₆的长度为 $\frac{{2}^{2016}}{（\sqrt{3}）^{2015}}$=$\frac{{2}^{2016}\sqrt{3}}{{3}^{1008}}$；
故答案为：$\frac{{2}^{2016}\sqrt{3}}{{3}^{1008}}$．

点评 本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．