Question

18．如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．
（1）该圆弧所在的圆心坐标为（2，1）；
（2）连结AC，求线段AC和弧AC所围成图形的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）连接DA、DC、AC，由勾股定理求出AD=DCDA=DC=$\sqrt{10}$，AC=2$\sqrt{5}$，得出DA²+DC²=AC²，由勾股定理的逆定理得出∠ADC=90°，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果．

解答 解：（1）作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，
如图1所示，圆心D的坐标为（2，1）；
故答案为：（2，1）；
（2）连接DA、DC，如图2所示：
则DA=DC=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴DA²+DC²=AC²，
∴△ADC是等腰直角三角形，∠ADC=90°，
∴线段AC和弧AC所围成图形的面积
=扇形ADC的面积-△DAC的面积
=$\frac{90π×（\sqrt{10}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$
=$\frac{5π}{2}$-5．

点评 本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理、扇形面积的计算；熟练掌握垂径定理，通过作图求出圆心坐标是解决问题的关键．