Question

11．如图，在边长为9的正三角形ABC中，点D在BC边上且BD=3，点E在AC边上且∠ADE=60°，求AE的长．

Answer 1

分析 由△ABC是等边三角形可推得∠B=∠C=60°，AB=BC，进而得到CD=BC-BD=6，于是得到∠BAD+∠ADB=120°，又∠ADE=60°，可得∠ADB+∠EDC=120°，于是有∠DAB=∠EDC，可证得△ABD∽△DCE，根据相似三角形的性质求得CE，即可求得AE．

解答 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC-BD=9-3=6；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
则$\frac{AB}{BD}=\frac{DC}{CE}$，
即$\frac{9}{3}$=$\frac{6}{CE}$，
解得：CE=2，
故AE=AC-CE=9-2=7．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质相似三角形的判定和性质，能够求得∠DAB=∠EDC，证出△ABD∽△DCE是解题的关键．