Question

4．如图，AC与BD是⊙I的直径，AD=4，CD=10，点G是AB上一动点，点E、F、H分别是DC、DG、CG的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）填空：①当AG=5时，四边形EFCH是菱形；
②当AG=2或8时，四边形EFGH是矩形．

Answer 1

分析 （1）根据中位线定理证EF∥CG且EF=$\frac{1}{2}$CG、GH=$\frac{1}{2}$GC可得EF∥CG、EF=GH；
（2）①由圆周角定理证得四边形ABCD是矩形，可得AD=BC=4、AB=CD=10，根据菱形的性质得CH=EH，再证Rt△DAG≌Rt△CBG可得答案；
②证△ADG∽△BGC得$\frac{AD}{BG}$=$\frac{AG}{BC}$，即$\frac{4}{10-AG}$=$\frac{AG}{4}$，解之可得．

解答 解：（1）∵点E、F、H分别是DC、DG、CG的中点，
∴EF∥CG，且EF=$\frac{1}{2}$CG，GH=$\frac{1}{2}$GC，
∴EF∥CG，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）①∵四边形EFCH是菱形，
∴CH=EH，
又∵点E、F、H分别是DC、DG、CG的中点，
∴CH=$\frac{1}{2}$CG，EH=$\frac{1}{2}$DG，
∴DG=CG，
∵AC与BD是⊙I的直径，
∴∠DAG=∠CBG=∠ADC=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，AB=CD=10
在Rt△DAG和Rt△CBG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DG=CG}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△DAG≌Rt△CBG（HL），
∴AG=BG=$\frac{1}{2}$AB=5，
故答案为：5；
②∵四边形EFGH是矩形
∴∠DGC=90°，
∴∠AGD+∠BGC=90°，
∵∠DAG=∠CBG=90°，
∴∠ADG+∠AGD=90°，
∴∠ADG=∠BGC，
∴△ADG∽△BGC，
∴$\frac{AD}{BG}$=$\frac{AG}{BC}$，即$\frac{4}{10-AG}$=$\frac{AG}{4}$，
解得：AG=2或8，
故答案为：2或8．

点评 本题主要考查矩形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质及圆周角定理及全等三角形的判定与性质等知识点的运用，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键．