Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，交AC于D，DE⊥AB于E，EF∥BC交AC于F．
（L）求证：△EDF∽△ADE；
（2）猜想：线段DC，DF、DA之间存在什么关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用垂直的定义和平行线的性质可证明∠DFE=∠DEA=90°，则利用相似三角形的判定方法可判断△EDF∽△ADE；
（2）由于△EDF∽△ADE，则利用相似比可得到DE²=DF•DA，再利用角平分线的性质定理得到DE=DC，从而得到线段DC，DF、DA之间的关系．

解答 （1）证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠C=90°，
∴∠DFE=∠DEA，
而∠FDE=∠EDA，
∴△EDF∽△ADE；
（2）解：DC²=DF•DA．理由如下：
∵△EDF∽△ADE，
∴DE：DA=DF：DE，
即DE²=DF•DA，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=DC，
∴DC²=DF•DA．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．解决本题的关键是利用相似三角形比得到DE、DF、DA的关系．