Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以点C为圆心，4为半径的⊙C与AB相切于点D，交CA于E，交CB于F，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A． $\frac{32}{3}\sqrt{3}-4π$
• B． $\frac{32}{3}\sqrt{3}-2π$
• C． 16-4π
• D． 16-2π

Answer 1

分析 利用切线的性质以及直角三角形的性质得出DC、BC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而得出答案．

解答 解：连接CD，
∵⊙C与AB相切于点D，
∴∠CDB=90°，
由题意可得：DC=4，
则BC=2×4=8，
设AC=x，则AB=2x，
故x²+8²=（2x）²，
解得：x=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$×8=$\frac{32\sqrt{3}}{3}$，
故图中阴影部分的面积为：$\frac{32\sqrt{3}}{3}$-S_扇形CEF=$\frac{32\sqrt{3}}{3}$-$\frac{90π×{4}^{2}}{360}$=$\frac{32\sqrt{3}}{3}$-4π．
故选：A．

点评 此题主要考查了扇形面积求法以及切线的性质和直角三角形的性质等知识，正确得出AC的长是解题关键．