Question

12．如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD-DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm²），点P运动的时间为t（s）．
（1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长；
（2）求点R运动的路程长；
（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；
（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．

Answer 1

分析 （1）易证△APQ是等边三角形，即可得到QR=PQ=AP=2t；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图②，易得点R运动的路程长是AG+CG，只需求出AG、CG就可解决问题；
（3）四边形APRQ与△ACD重叠部分图形可能是菱形，也可能是五边形，故需分情况讨论，然后运用割补法就可解决问题；
（4）由于直角顶点不确定，故需分情况讨论，只需分∠QRB=90°和∠RQB=90°两种情况讨论，即可解决问题．

解答 解：（1）如图①，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠B=60°．
∵PQ∥BC，
∴∠APQ=∠ACB=60°，∠AQP=∠B=60°，
∴△APQ是等边三角形．
∴PQ=AP=2t．
∵△PQR是等边三角形，
∴QR=PQ=2t；

（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图②，

则点R运动的路程长是AG+CG．
在Rt△AGC中，∠AGC=90°，sin60°=$\frac{AG}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos60°=$\frac{CG}{AC}$=$\frac{1}{2}$，AC=4，
∴AG=2$\sqrt{3}$，CG=2．
∴点R运动的路程长2$\sqrt{3}$+2；

（3）①当0＜t≤$\frac{2}{3}$时，如图③，

S=S_菱形APRQ=2×S_正△APQ=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2t）²=2$\sqrt{3}$t²；
②当$\frac{2}{3}$＜t≤1时，如图④

PE=PC•sin∠PCE=（4-2t）×$\frac{1}{2}$=2-t，
∴ER=PR-PE=2t-（2-t）=3t-2，
∴EF=ER•tanR=$\sqrt{3}$（3t-2）
∴S=S_菱形APRQ-S_△REF
=2$\sqrt{3}$t²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3t-2）²=-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$t²+6$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$；

（3）t=$\frac{2}{3}$或t=$\frac{4}{3}$
提示：①当∠QRB=90°时，如图⑤，

cos∠RQB=$\frac{QR}{QB}$=$\frac{1}{2}$，
∴QB=2QR=2QA，
∴AB=3QA=6t=4，
∴t=$\frac{2}{3}$；
②当∠RQB=90°时，如图⑥，

同理可得BC=3RC=3PC=3（4-2t）=4，
∴t=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、等边三角形的面积公式（等边三角形的面积等于边长平方的$\frac{\sqrt{3}}{4}$倍）等知识，运用分类讨论的数学思想是解决本题的关键．