Question

4．如图，边长等于4的正方形ABCD两个顶点A与D分别在x轴和y轴上滑动（A、D都不与坐标原点O重合），作CE⊥x轴，垂足为E，当OA等于2$\sqrt{2}$时，四边形OACE面积最大．

Answer 1

分析 设OA=x，OD=y，易证△AOD≌△DEC，则有DE=OA=x，CE=OD=y，x²+y²=16，然后将四边形OACE面积用x、y的式子表示，然后运用完全平方公式就可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADC=90°．
∵∠AOD=90°，CE⊥y轴，
∴∠AOD=∠DEC=90°，∠ADO=∠DCE=90°-∠CDE．
在△AOD和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠DEC}\\{∠ADO=∠DCE}\\{DA=DC}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△DEC，
∴AO=DE，OD=EC．
设OA=x，OD=y，
则有DE=OA=x，CE=OD=y，x²+y²=16，
∴S_{四边形OECA}=$\frac{1}{2}$（x+y）²=$\frac{1}{2}$（x²+y²+2xy）
=$\frac{1}{2}$（16+2xy）
=8+xy
=8+$\frac{1}{2}$[x²+y²-（x-y）²]
=8+$\frac{1}{2}$[16-（x-y）²]
=16-$\frac{1}{2}$（x-y）²
当x=y时，S_{四边形OECA}取到最大值，
此时OA=OD=4×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、完全平方公式等知识，巧妙运用完全平方公式是解决本题的关键．