Question

14．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，连接CD交AB于点O，连接BD．
（1）求证：AB垂直平分CD；
（2）若AB=6，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得到△ACD是等边三角形，根据线段垂直平分线的概念判断即可；
（2）根据直角三角形的性质计算即可．

解答 （1）证明：∵线段AC绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，
∴AD=AC，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵∠BAC=30°，
∴∠DAB=30°，
∴∠BAC=∠DAB，
∴AO⊥CD，又CO=DO，
∴AB垂直平分CD；
（2）解：∵AB垂直平分CD，
∴BD=BC，∠ADB=∠ACB=90°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的判定、直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．