Question

如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（0，

2

），∠CAB=90°，AC=AB，顶点A在⊙O上运动．
（1）当点A在y轴上时，求点C的坐标；
（2）当点A运动到y轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；
（3）当点A在y轴右侧运动时，设点A的纵坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出S的取值范围；
（4）当直线AB与⊙O在第一象限内相切时，在坐标轴上是否存在一点P，使得以P、A、B、C为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）分点A在y轴正半轴和负半轴两种情况先求出AB的长，再根据等腰直角三角形的性质可得AC=AB，然后写出点C的坐标即可；
（2）根据切线的定义判断即可；
（3）过点A作AD⊥y轴于D，连接OA，利用勾股定理列式表示出AD²，再求出BD，利用勾股定理列式表示出AB²，然后根据等腰直角三角形的面积等于直角边平方的一半列式整理即可得解，然后根据一次函数的增减性求出S的取值范围；
（4）连接OA，利用勾股定理列式求出AB，从而得到△ABO是等腰直角三角形，再求出点A、C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB、AC的解析式，再分①PC∥AB，②PA∥BC，③PB∥AC三种情况分别求出直线PC的解析式，求出与坐标轴的交点，即为点P的坐标．

解答：解：（1）当点A在y轴正半轴时，坐标为（0，1）时，
AB=AC=

2

-1，
点C的坐标为（

2

-1，1）；
当点A在y轴负半轴时，坐标为（0，-1）时，
AB=AC=

2

+1，
点C的坐标为（

2

+1，-1）；

（2）∵∠CAB=90°，
∴AB⊥AC，
又∵点A在y轴负半轴，且点A在⊙O上，
∴直线BC与⊙O相切；

（3）如图，过点A作AD⊥y轴于D，连接OA，
根据勾股定理，AD²=OA²-OD²=1²-x²=1-x²，
∵BD=

2

-x，
∴在Rt△ABD中，AB²=BD²+AD²，
=（

2

-x）²+（1-x²），
=2-2

2

x+x²+1-x²，
=-2

2

x+3，
∴等腰直角△ABC的面积为S=

1

2

AB²=

1

2

（-2

2

x+3）=-

2

x+

3

2

，
即S=-

2

x+

3

2

，
∵-

2

＜0，
∴S随x的增大而减小，
又∵⊙O上的点A在y轴右侧运动，点A的纵坐标为x，
∴-1＜x＜1，
∴-

2

+

3

2

＜S＜

2

+

3

2

；

（4）存在．
如图，连接OA，∵直线AB与⊙O在第一象限内相切，
∴OA⊥AB，
∴AB=

OB2-OA2

=

2 2-12

=1，
∴OA=AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴点A（

2

2

，

2

2

），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=

2

AB=

2

，
∴点C的坐标为（

2

，

2

），
易求直线AB的解析式为y=-x+

2

，
直线AC的解析式为y=x，
①PC∥AB时，设直线PC的解析式为y=-x+b₁，
把C（

2

，

2

）代入得，-

2

+b₁=

2

，
解得b₁=2

2

，
所以，直线PC的解析式为y=-x+2

2

，
令y=0，则-x+2

2

=0，
解得x=2

2

，
此时，点P的坐标为P₁（2

2

，0），
令x=0，则y=2

2

，
此时，点P的坐标为P₂（0，2

2

），
②PA∥BC时，点P的坐标为P₃（0，

2

2

）；
③PB∥AC时，设直线PC的解析式为y=x+b₂，
把点B（0，

2

）代入求得b₂=

2

，
所以，直线PB的解析式为y=x+

2

，
令y=0，则x+

2

=0，
解得x=-

2

，
此时，点P的坐标为P₄（-

2

，0），
综上所述，存在点P₁（2

2

，0），P₂（0，2

2

），P₃（0，

2

2

），P₄（-

2

，0）使得以P、A、B、C为顶点的四边形是梯形．

点评：本题是圆的综合题型，主要考查了等腰直角三角形的性质，圆的切线的判定，勾股定理，三角形的面积，一次函数的增减性，梯形的判定，综合性较强，难度较大，特别是（4）要分情况讨论．