Question

【题目】如图所示，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）求证：EG2=GF×AF；

（3）若，折痕AF=5cm，则矩形ABCD的周长为 .

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）36cm.

【解析】试题分析：（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF。

（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系.

（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．

试题解析：

（1）证明：如图所示，

∵EG∥CD， ∴∠EGF=∠DFG．

∵由折叠的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF．

∴GD=GE=DF=EF，∴四边形EFDG为菱形；

（2）证明：如图所示，连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，OG=OF=GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF．

∴，即DF2=OFAF．

∵OF=GF，DF=EG， ∴EG2=GFAF ；

（3）矩形ABCD的周长为36 cm.