Question

17．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，∠BAD的平分线交⊙O于点C，过点C的直线与AD互相垂直，垂足为点E，直线EC与AB的延长线交于点P，连接BC，已知PB：PC=1：$\sqrt{3}$．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为r，试探究线段PB与r的数量关系并证明；
（3）当r=3时，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）先判断出∠CAE=∠CAB，进而得出∠CAE=∠OCA，即可得出OC∥AE，即可得出结论；
（2）设出PB=x，则PC=$\sqrt{3}$x，先判断出△PBC∽△PCA，即可得出比例式即可得出PA=3x，即可得出结论；
（3）利用锐角三角函数求出∠BAC=30°，即可求出∠ABD=30°，即可求出AD，即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，连接OC，
∴OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠CAE=∠CAB，
∴∠CAE=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵PC⊥AE，
∴PC⊥OC，
∵点C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线；
（2）PB=r，
理由：由（1）知，PC是⊙O的切线，
∴∠PCB=∠PAC，
∵∠A=∠A，
∴△PBC∽△PCA，
∴$\frac{PB}{PC}=\frac{PC}{PA}$=$\frac{BC}{AC}$，
设PB=x，则PC=$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{x}{\sqrt{3}x}=\frac{\sqrt{3}x}{PA}$，
∴PA=3x，
∴PA=PB+AB=x+2r=3x，
∴r=x，
∴PB=r，

（3）如图2，
连接OC，
由（1）知，OC⊥PC，
由（2）知，BP=r=OB，
∴BC=$\frac{1}{2}$OP=r，
AC=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$r=3$\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{r}{2r}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAC=30°，
∴∠BAD=2∠BAC=60°，
连接BD，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=r=3．
在Rt△ACE中，∠ACE=30°，cos∠CAE=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AE}{3\sqrt{3}}$，
∴AE=3$\sqrt{3}$×cos30°=$\frac{9}{2}$，
∴DE=AE-AD=$\frac{9}{2}$-3=$\frac{3}{2}$．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了角平分线定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，解（1）的关键是判断出OC∥AE，解（2）的关键是表示出PA，解（3）的关键是求出∠BAC=30°，是一道中等难度的中考常考题．