Question

14．如图，正方形ABCD中，BE∥AC，AE=AC，求证：CE=CF．

Answer 1

分析 把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，连接CG．得出B、G、D三点在同一条直线上，由SAS证明△AGD≌△CGD，由全等三角形对应边相等可得AG=CG，证出△AGC为等边三角形，得出∠GAC=60°，由等腰三角形的性质得出∠CEF=∠CFE=75°，即可得出结论．

解答 证明：如图所示：把△ABE逆时针旋转90°得到△ADG，连接BD、CG；
则∠EAG=90°，AG=AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠ABC=∠BAD=90°，AC⊥BD，∠ACB=∠ADB=45°，
∵BE∥AC，
∴∠CBE=∠ACB=45°，
∵∠ADG=∠ABE=90°+45°=135°，
∴B，G，D在一条直线上，
∴∠ADG=∠CDG=180°-45°=135°，
在△AGD与△CGD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}&{\;}\\{∠ADG=∠CDG}&{\;}\\{DG=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△CGD（SAS），
∴AG=GC=AE=AC，
∴△AGC为等边三角形，
∴∠GAC=60°，
∴∠EAC=90°-60°=30°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=（180°-30°）÷2=75°，
又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°，
∴∠AEC=∠EFC，
∴CE=CF．

点评 本题综合考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及旋转变换的性质；根据旋转变换构造出图形是解决问题的关键．