Question

如图1，在平面直角坐标系中，矩形ORPT≌矩形OGHK，已知R（2a，0），T（0，2b），函数y=

k

x

（x＞0）的图象分别与KH、HG、TP、PR交于点D、F、E、C，且已知点E是TP的中点．
（1）试问点C是PR的中点吗？请证明你的结论，并分别直接写出点D、F的坐标（可含a、b）．
（2）如图2，若直线DC交x轴于点A（10，0），交y轴于点B（0，10），且S_△ODC=8S_△OAC，试求函数y=

k

x

（x＞0）的解析式．
（3）在（2）的条件下，将△OCD和函数y=

k

x

（x＞0）的图象同时以每秒1个单位长度的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB的重叠部分的面积为S．
①试求直线CD平移3秒后对应的解析式；
②求出S与运动时间t（秒）之间的函数关系式．（0＜t＜10）

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）分别作CM⊥y轴于点M，EN⊥x轴于点N，根据S_矩形ENOT=S_矩形CROM，判断出点C是PR的中点，求出点D、F的坐标；
（2）求出S_△OAB=

1

2

•OA•OB=50，再根据S_△ODC=8S_△OAC，且易知S_△OBD=S_△OAC，求出DK=1，进一步求出D点坐标为（1，9）；
（3）①求出平移后C、D坐标，设直线CD此时的解析式为y=k′x+b，代入求值即可；
②根据MN∥C′D′，得到△O′MN∽△ODC，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出S=

2

5

t²-8t+40（0＜t＜10）．

解答：解：（1）如图1，分别作CM⊥y轴于点M，EN⊥x轴于点N，则有ENOT及CROM均为矩形，
且S_矩形ENOT=S_矩形CROM，
即OT•TE=MO•OR．
又∵TE=

1

2

TP=

1

2

OR，OT•

1

2

OR=MO•OR，
∴MO=CR=

1

2

TO=

1

2

PR，
∴点C是PR的中点．
D点坐标为（b，2a），F点坐标为（2b，a）．

（2）如图2，
∵A（10，0）、B（0，10），
∴OA=10，OB=10．
∴S_△OAB=

1

2

•OA•OB=50，
又∵S_△ODC=8S_△OAC，
且易知S_△OBD=S_△OAC，
∴S_△OBD=

1

10

S_△OAB=5，
即

1

2

•DK•OB=

1

2

•DK•10=5，DK=1．
又∵在Rt△OAB中，OA=OB，
∴∠ABO=45°，
∴BK=DK=1．
故D点坐标为（1，9）．
把x=1，y=9代入y=

k

x

中，得k=9．
∴y=

k

x

（k＞0）的函数解析式为y=

9

x

．

（3）①由（2）知C（9，1）、D（1，9），
故当直线向右平移3秒（即3个单位长度）后，
C、D的坐标分别为（12，1）、（4，9）．
设直线CD此时的解析式为y=k′x+b，那么有

12k′+b=1 4k′+b=9

，
解得

k′=-1 b=13

．
故此时直线CD此时的解析式为y=-x+13．
②当平移t秒后，即OO′=t（如图3）．
由平移知MN∥C′D′，
∴△O′MN∽△O′D′C′，
∴△O′MN∽△ODC．
∴

S△O′MN

S△ODC

=（

O′N

OC

）²，
即

S

S△ODC

=（

O′N

OC

）²．
又∵O′N∥OC，
∴△O′AN∽△OAC，
得

O′N

OC

=

O′A

OA

=

10-t

10

，
同时S_△ODC=

8

10

S_△OAB=

8

10

×50=40，
故

S

40

=（

10-t

10

）²，
∴S=

2

5

t²-8t+40（0＜t＜10）．

点评：本题考查了反比例函数的知识，涉及反比例函数的性质、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质、动点问题等知识，综合性较强．