Question

抛物线y=ax²+bx+c的开口向下，和x轴交于A，B两点，并且对称轴为x=-1．菱形ACBD中的点C是抛物线的顶点，若菱形的对角线分别是AB=6和CD=8．求这个二次函数的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,菱形的性质

专题：

分析：根据抛物线的对称性易求点A、B的坐标；然后利用菱形的对角线互相垂直平分来求点C的坐标．利用两点式方程来求抛物线的解析式．

解答：解：如图，∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-1，AB=6，
∴A（-4，0）、B（2，0）．
又∵四边形ACBD是菱形，对角线CD=8，
∴C（-1，4）．
故设该抛物线的解析式为：y=a（x+4）（x-3）（a≠0）．
把C（-1，4）代入，得
4=a（-1+4）（-1-3），即4=-12a，
解得 a=-

1

3

．
∴该抛物线的解析式为y=-

1

3

（x+4）（x-3）=-

1

3

x²-x+12．即y=-

1

3

x²-x+12．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，菱形的性质．根据已知条件求得点A、B、C的坐标是解题的关键．