Question

11．如图，菱形ABCD的一个内角是60°，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后得到菱形A′B′C′D′．旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为8$\sqrt{3}$-8，则菱形ABCD的边长为2．

Answer 1

分析 根据已知可得重叠部分是个八边形，根据其周长从而求得其一边长即可得到答案．

解答 解：因为旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为8$\sqrt{3}$-8，
∴根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形，
∴B′F=FD=$\sqrt{3}$-1，
∵菱形ABCD的一个内角是60°，将它绕对角线的交点O顺时针旋转90°后得到菱形A′B′C′D′，
∴∠DAO=∠B′A′O=30°，
∴AO=A′O=$\sqrt{3}$，
∴OD=OB′=1，
∴AD=A′B′=2，
故答案为：2

点评 此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质，关键是根据已知可得重叠部分是个八边形．