Question

1．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，过A、C两点作⊙O，交边AB于D，PC、PD为⊙O的切线．
（1）求证：∠CPD=2∠B；
（2）若PD⊥BC于E，cos∠P=$\frac{1}{3}$且DE=2时，求⊙O的半径R的值．

Answer 1

分析 （1）连接OC，OD，OP，CD，根据切线的性质得出PC=PD，∠OCP=∠ODP=90°，然后证得△OCP≌△ODP得出∠POC=∠POD=$\frac{1}{2}$∠COD，从而求得∠A=∠POD，进而即可证得结论；
（2）根据切线的性质得出PC=PD，∠OCP=∠ODP=90°OP⊥CD，进而得出∠PDO=∠PFD=90°，根据cos∠P=$\frac{PE}{PC}$=$\frac{1}{3}$得出cos∠P=$\frac{PE}{PD}$=$\frac{1}{3}$，求得PC=PD=3，PE=1，然后根据勾股定理得出CE=$\sqrt{P{C}^{2}-P{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，PF=$\sqrt{P{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$，通过证得△OPD∽△DPF，得出$\frac{OD}{PD}$=$\frac{DF}{PF}$，即$\frac{OD}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$，
即可求得OD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

解答 解：（1）连接OC，OD，OP，CD，
∵PC、PD为⊙O的切线，
∴PC=PD，∠OCP=∠ODP=90°，
在△OCP和△ODP中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{PC=PD}\\{OP=OP}\end{array}\right.$
∴△OCP≌△ODP（SSS），
∴∠POC=∠POD=$\frac{1}{2}$∠COD，$∠OPC=∠OPD=\frac{1}{2}∠CPD$，
∵$∠A=\frac{1}{2}$∠COD，
∴∠A=∠POD，
∵∠ACB=∠ODP=90°，
∴∠OPD=∠B，
∴∠CPD=2∠B；
（2）∵PC、PD为⊙O的切线，
∴OP⊥CD，OD⊥PD，
∴∠PDO=∠PFD=90°，
∵PD⊥BC，
∴cos∠P=$\frac{PE}{PC}$
∵PC=PD，
∴cos∠P=$\frac{PE}{PD}$=$\frac{1}{3}$
∵DE=2，
∴PD=3，
∴PC=3，
∴CE=$\sqrt{P{C}^{2}-P{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
∴PF=$\sqrt{P{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∵∠PDO=∠PFD=90°，∠OPD=∠DPF，
∴△OPD∽△DPF，
∴$\frac{OD}{PD}$=$\frac{DF}{PF}$，即$\frac{OD}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$，
∴OD=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，三角形相似的判断和性质，勾股定理的应用，直角三角函数等，作出辅助线根据直角三角形是解题的关键．