Question

（1）如图1,OC平分∠AOB,点P在OC上,若⊙P与OA相切,那么⊙P与OB位置关系是     ．

（2）如图2,⊙O的半径为2,∠AOB=120°,
①若点P是⊙O上的一个动点,当PA=PB时,是否存在⊙Q,同时与射线PA.PB相切且与⊙O相切,如果存在,求出⊙Q的半径; 如果不存在,请说明理由．
②若点P在BO的延长线上,且满足PA⊥PB,是否存在⊙Q,同时与射线PA.PB相切且与⊙O相切,如果存在,请直接写出⊙Q的半径; 如果不存在,请说明理由．

Answer 1

（1）相切;（2）①存在,半径可以为,4 ,,;②存在．其半径可以为1,．

试题分析：（1）作PD⊥OA于A,PE⊥OB于B,则根据角平分线定义得到PD=PE,根据切线的性质由⊙P与OA相切得到PD为⊙P的半径,然后根据切线的判定定理可得到OB为⊙P的切线;
（2）①由PA=PB得到点P为∠AOB的平分线或反向延长线与⊙O的交点,分类讨论：当P点在优弧AB上时,当P点在劣弧AB上时,然后解四个方程即可得到满足条件的⊙Q的半径;
②作QH⊥PB于H,由PA⊥PB得∠APB=90°,由⊙Q与射线PA.PB相切,根据切线的性质得PQ平分∠APB,即∠QPH=45°,所以QH=PH,在Rt△POA中易得OP=1,设⊙Q的半径为r,即PH=QH=r,则OH=PH﹣OP=r﹣1,在Rt△OQH中,根据勾股定理得OQ²=OH²+QH²=（r﹣1）²+r²,
若⊙Q与⊙O内切时,OQ=2﹣r,得到（2﹣r）²=（r﹣1）²+r²,若⊙Q与⊙O外切时,OQ=2+r,得到（2+r）²=（r﹣1）²+r²,然后解两个方程即可得到满足条件的⊙Q的半径．
试题解析：（1）作PD⊥OA于A,PE⊥OB于B,如图1,
∵OC平分∠AOB,
∴PD=PE,
∵⊙P与OA相切,
∴PD为⊙P的半径,
∴PE为⊙的半径,
而PE⊥OB,
∴OB为⊙P的切线;
故⊙P与OB位置关系是相切;
（2）①存在
∵PA=PB,
∴点P为∠AOB的平分线或反向延长线与⊙O的交点,
如图2,
当P点在优弧AB上时, 设⊙Q的半径为,
若⊙Q与⊙O内切,可得,解得 ,
若⊙Q与⊙O外切,可得, 解得 ,
当P点在劣弧AB上时,
同理可得：x=,x= ,
综上所述,存在⊙Q,半径可以为,4 ,,;
②存在．作QH⊥PB于H,如图3,
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°,
∵⊙Q与射线PA.PB相切,
∴PQ平分∠APB,
∴∠QPH=45°,
∴△QHP为等腰直角三角形,
∴QH=PH,
在Rt△POA中,∠AOP=60°,OA=2,
∴OP=1,
设⊙Q的半径为r,即PH=QH=r,则OH=PH﹣OP=r﹣1,
在Rt△OQH中,OQ²=OH²+QH²=（r﹣1）²+r²,
若⊙Q与⊙O内切时,OQ=2﹣r,则（2﹣r）²=（r﹣1）²+r²,解得r₁=1,r₂=﹣3（舍去）;
若⊙Q与⊙O外切时,OQ=2+r,则（2+r）²=（r﹣1）²+r²,解得r₁=,r₂=（舍去）;
综上所述,存在⊙Q,其半径可以为1,．
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