Question

8．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＜BC．点M、N分别在边AD、BC上，沿直线MN将四边形DMNC翻折，点C恰好与点A重合．如果此时在原图中△CDM与△MNC的面积比是1：3，那么$\frac{MN}{DM}$的值等于$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由折叠的性质可得：∠AMN=∠CMN，由四边形ABCD是矩形，可得∠AMN=∠CNM，则可证得∠CNM=∠CMN，继而可得CM=CN；过点M作MH⊥BC于点H，由△CDM的面积与△MNC的面积比为1：3，易得NC=3MD=3HC，然后设DM=x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案．

解答 解：由折叠的性质可得：∠EMN=∠DMN，
即∠EMN=∠EMA+∠AMN，
∠DMN=∠DMC+∠CMN，
∵∠EMA=∠DMC
∴∠AMN=∠CMN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AMN=∠CNM，
∴∠CNM=∠CMN，
∴CM=CN，
如图，

过点M作MH⊥BC于点H，则四边形MHCD是矩形，
∴HC=DM，MH=DC，
∵△CDM的面积与△CMN的面积比为1：3，
∴$\frac{{S}_{△CDM}}{{S}_{△CMN}}$=$\frac{\frac{1}{2}DM•MH}{\frac{1}{2}CN•NH}=\frac{DM}{CN}=\frac{1}{3}$，
∴NC=3MD=3HC，
∴NH=2HC，
设DM=x，则HC=x，NH=2x，
∴CM=CN=3x，
在Rt△CDM中，DC=$\sqrt{C{M}^{2}-D{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$x，
∴HM=2$\sqrt{2}$x，
在Rt△MNH中，MN=$\sqrt{M{H}^{2}+N{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{MN}{DM}=\frac{2\sqrt{3}x}{x}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．