Question

如图，在平行四边形ABCD中，延长CD到E，使DE=DC，连接BE交AD于F，交AC于G．
（1）若BE为∠ABC的平分线，求证：BC=AF+DE；
（2）若BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，求GF的长．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）由在平行四边形ABCD中，BE为∠ABC的平分线，易证得△ABF与△BCE是等腰三角形，然后由平行四边形的性质，即可证得BC=AF+DE；
（2）由BC=2AB，DE=1，∠ABC=60°，可得BF是角平分线，△ABG是含30°角的直角三角形的性质，然后由△AGF∽△CGB，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=CD，
∴∠AFB=∠CBF，
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AF=AB，
∴CD=AF，
同理：BC=CE，
∴BC=CE=CD+DE=AF+DE；

（2）在BC上截取BN=AB=1，连接AN，
∵∠ABC=60°，
∴△ANB是等边三角形，
∴AN=1=BN，∠ANB=∠BAN=60°，
∵BC=2AB=2，
∴CN=1=AN，
∴∠ACN=∠CAN=

1

2

×60°=30°，
∴∠BAC=90°．
∴∠CBF=∠E=30°，
∴∠ABF=∠CBF=30°，
∴BG=

AB

cos30°

=

2 3

3

，
∴AF=AB=DE=1，BC=2AB=2DE=2，
∵△AGF∽△CGB，
∴GF：BG=AF：BC=1：2，
∴GF=

3

3

．

点评：此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．