Question

10．已知如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别在AB、AD上，且BE=AF．求证：△ECF是等边三角形．

Answer 1

分析 连接AC，由菱形的性质可证明△ACE≌△CDF，得出EC=FC，再证出∠ECF=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论．

解答 解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=CD，
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°，∠BCD=120°，△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∴AC=CD，
∵BE=AF，
∴AE=DF，
在△ACE与△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}&{\;}\\{∠BAC=∠D}&{\;}\\{AE=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴EC=FC．∠ACE=∠DCF，
∵∠DCF+∠ACF=60°，
∴∠ACE+∠ACF=60°，
即∠ECF=60°，
∴△ECF是等边三角形．

点评 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，通过证明三角形全等得出对应边相等是解决问题的关键．