Question

20．如图，△CDE中，∠CDE=135°，CB⊥DE于B，EA⊥CD于A，求证：CE=$\sqrt{2}$AB．

Answer 1

分析 取CE的中点F，连接AF、BF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=EF=BF=CF，根据三角形的内角和等于180°求出∠ACE+∠BEC=45°，然后求出∠AEC+∠BCE=135°，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BFC+∠AFE=90°，然后求出∠AFB=90°，从而判断出△ABF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的$\frac{\sqrt{2}}{2}$可得AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，然后证明即可．

解答 证明：如图，取CE的中点F，连接AF、BF，
∵CB⊥DE，EA⊥CD，
∴AF=EF=BF=CF=$\frac{1}{2}$CE，
在△CDE中，∵∠CDE=135°，
∴∠ACE+∠BEC=180°-135°=45°，
∴∠AEC+∠BCE=（90°-∠ACE）+（90°-∠BEC）=180°-45°=135°，
∴∠BFC+∠AFE=（180°-2∠BCE）+（180°-2∠AEC）=360°-2（∠AEC+∠BCE）=360°-2×135°=90°，
∴∠AFB=180°-（∠BCF+∠AFE）=180°-90°=90°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴CE=2AF=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$AB，
即CE=$\sqrt{2}$AB．

点评 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，作出图形更形象直观．