Question

如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），在运动过程中，保持∠PAQ=60°不变．
（1）试说明：△PAQ是等边三角形；
（2）求四边形APCQ的面积；
（3）填空：当BP=______时，S_△PCQ最大．

Answer 1

解：（1）在菱形ABCD中，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴AC=CD，
∵∠PAQ=60°，
∴∠CAP=∠DAQ，
∴△ACP≌△ADQ，
∴AP=AQ，
∴△PAQ是等边三角形；

（2）∵△ACP≌△ADQ，∴S_△ACP=S_△ADQ，
即S_{四边形APCQ}=S_△ACD=×2×=；

（3）∵△PAQ是等边三角形，
∴当AP⊥BC时，三角形APQ的面积最小，则三角形PCQ的面积最大．
此时BP=1，
故答案为1．
分析：（1）利用证明三角形ACP和三角形ADQ全等证AP=AQ，结合角PAQ等于60度，便得△PAQ是等边三角形；
（2）根据三角形ACP和三角形ADQ全等，则四边形APCQ的面积等于三角形ABC或者三角形ACD的面积．
（3）要使三角形PCQ的面积最大，只要等边三角形APQ的面积最小即AP⊥BC时即可．
点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定，有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形．