Question

19．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A，B分别在y=$\frac{-3}{x}$（x＜0）和y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，AB与y轴交于点C，OC平分∠AOB，若$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则k的值是（　　）

• A． 3
• B． 9
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 9$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，由OC平分∠AOB可得出∠AOC=∠BOC，进而得出∠AOD=∠BOE，结合∠ADO=∠BEO=90°即可证出△AOD∽△BOE，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOE}}$=$\frac{1}{3}$，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得出$\frac{3}{k}$=$\frac{1}{3}$，解之即可得出结论．

解答 解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠AOD=∠BOE．
∵∠ADO=∠BEO=90°，
∴△AOD∽△BOE．
∵$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOE}}$=$\frac{1}{3}$．
∵点A，B分别在y=$\frac{-3}{x}$（x＜0）和y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，
∴$\frac{3}{k}$=$\frac{1}{3}$，
∴k=9．
故选B．

点评 本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定与性质以及反比例函数系数k的几何意义，依照相似三角形的性质找出$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△BOE}}$=$\frac{1}{3}$是解题的关键．