Question

2．已知，如图，在直角坐标系中，点E，F都是从原点O出发，点E以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，点F以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动．点B的坐标为B（4，2），以BE为直径的⊙O₁与x轴的另一个交点为A．设点E的运动时间为t秒．
（1）如图1，若点E，F同时出发，线段EF与线段OB相交于点G，问点G是否在⊙O₁上？请你作出判断，并说明理由；
（2）如图1，若点E，F同时出发，连结FB，当t为何值时，FB与⊙O₁相切？
（3）如图2，若点E运动2秒后，点F再出发．当2＜t＜4时，连结AF交⊙O₁于点P，试问AP•AF的值是否会发生变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请求其值的变化范围．

Answer 1

分析 （1）要判断点G与⊙O₁的位置关系，只需比较O₁G与⊙O₁的半径O₁B的大小．设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t），用待定系数法求出直线EF和直线OB的解析式，确定点G的坐标，用两点间的距离公式计算出O₁G与O₁B的大小，从而进行判定；
（2）如果t秒时FB与⊙O₁相切，那么∠FBE=90°；在RT△BEF与RT△OEF中，根据EF不变列出方程，求出t的值；
（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t）；设P（x，y），由tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，得出x=4-$\frac{2}{t}$y，即P（4-$\frac{2}{t}y$，y）；因为BE为直径，所以∠BPE=90°，PE²+BP²=BE²，得出y与t的关系，可以含t的代数式得出P的坐标，分别计算AP，AF的长，根据结果判断．

解答 解：（1）连接O₁G，
设点E出发t秒，则E（t，0），F（0，2t），
设直线EF的方程为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{kt+b=0}\\{b=2t}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=2t}\end{array}\right.$，
∴y=-2x+2t，
∴直线OB的方程为y=$\frac{1}{2}$x；
∵解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2t}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}t}\\{y=\frac{2}{5}t}\end{array}\right.$，
∴G（$\frac{4}{5}$t，$\frac{2}{5}$t）；
∵O₁是BE的中点，
∴O₁（$\frac{4+t}{2}$，1），
∴O₁G²=（$\frac{4+t}{2}$-$\frac{4}{5}$t）²+（1-$\frac{2}{5}$t）²=$\frac{1}{4}$t²-2t+5，O₁B²=（4-$\frac{4+t}{2}$）²+1²=$\frac{1}{4}$t²-2t+5，
∴O₁G=O₁B，点G在⊙O₁上；

（2）设t秒时FB与⊙O₁相切，那么E（t，0），F（0，2t），∠FBE=90°，
∵EF²=BE²+BF²，EF²=OE²+OF²，
∴（4-t）²+2²+4²+（2-2t）²=t²+（2t）²，
解得t=2.5；

（3）设点F出发t秒，则E（t+2，0），F（0，2t），
设P（x，y），
∵tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，
∴x=4-$\frac{2}{t}$y，
∴P（4-$\frac{2}{t}$y，y），
∵BE为直径，
∴∠BPE=90°，
∵PE²+BP²=BE²，
∴利用两点间的距离公式把B、P、E、F各点的坐标代入得，
∴y=$\frac{4t}{{t}^{2}+4}$，
∴x=$\frac{{4t}^{2}+8}{{t}^{2}+4}$，
即P（$\frac{{4t}^{2}+8}{{t}^{2}+4}$，$\frac{4t}{{t}^{2}+4}$），
∴AP²=（4-$\frac{{4t}^{2}+8}{{t}^{2}+4}$）²+（$\frac{4t}{{t}^{2}+4}$）²，
∴AP=$\frac{4}{{t}^{2}+4}$×$\sqrt{{t}^{2}+4}$，AF=$\sqrt{16+{4t}^{2}}$=2$\sqrt{{t}^{2}+4}$，
∴AP•AF=8，是不会发生变化的．

点评 本题综合考查了切线的判定，三角函数等知识，善于抓住不变量，找到等量关系是解答此题的关键．