Question

20．我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 根据题意，在△MNP中，∠MNP=30°，∠PMN=45°，MN=2千米，是否搬迁看P点到MN的距离与0.6的大小关系，若距离大于0.6千米则不需搬迁，反之则需搬迁，因此求P点到MN的距离，作PD⊥MN于D点．

解答 解：过点P作PD⊥MN于D
∴MD=PD•cot45°=PD，
ND=PD•cot30°=$\sqrt{3}$PD，
∵MD+ND=MN=2，
即$\sqrt{3}$PD+PD=2，
∴PD=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1≈1.73-1=0.73＞0.6．
答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁．

点评 考查了解直角三角形的应用-方向角问题，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）．