Question

11．如图，B、C、E是同一直线上顺次三点，分别以BC、CE为斜边在直线BE同侧作Rt△ABC、Rt△DCE，且∠ACB=∠DEC．
（1）如图1，若BC=2CE，CE=1，tan∠B=$\frac{3}{2}$，求AD的长；
（2）如图2，连接BD，AE，分别交AC、CD于点M、N，连接MN．
①求证：∠CNM=∠ABC；
②若BE=10，直接写出MN的最大值2.5．

Answer 1

分析 （1）由三角函数得出$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{2}$，设AB=2x，则AC=3x，由勾股定理得出方程，解方程求出AE、AC，再证明△CDE∽△BAC，得出比例式求出CD，根据勾股定理求出AD即可；
（2）①由平行线得出比例式，证出MN∥BC，得出内错角相等，即可得出结论；
②由平行线得出比例式，得出MN=$\frac{BC•CE}{BC+CE}$=$\frac{BC•CE}{10}$，再由BC=CE=5时，BC•CE最大，即可得出结果．

解答 （1）解：∵BC=2CE，CE=1，
∴BE=2，
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∵tan∠B=$\frac{AC}{AB}$，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{2}$，
设AB=2x，则AC=3x，
根据勾股定理得：AB²+AC²=BC²，
∴（2x）²+（3x）²=2²，
解得：x=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
∴AB=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，AC=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
∵∠ACB=∠DEC，
∴AC∥DE，
∴∠ACD=∠CDE=90°，
∵∠BAC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△BAC，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{CE}{BC}$=$\frac{DE}{AC}$=$\frac{1}{2}$，∠DCE=∠ABC，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{6\sqrt{13}}{13}）^{2}+（\frac{2\sqrt{13}}{13}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{130}}{13}$；
（2）①证明：∵AC∥DE，
∴$\frac{DN}{CN}=\frac{DE}{AC}$，
∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥CD，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{DM}{BM}$，
∴$\frac{DN}{CN}=\frac{DM}{BM}$，
∴MN∥BC，
∴∠CNM=∠DCE，
∴∠CNM=∠ABC；
②解：∵MN∥BC，AC∥DE，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{DN}{CD}$=$\frac{NE}{AE}=\frac{CE}{BE}$，$\frac{MN}{CE}=\frac{AN}{AE}=\frac{BC}{BE}$，
∴$\frac{MN}{BC}+\frac{MN}{CE}$=$\frac{CE}{BE}+\frac{BC}{BE}$=1，
∴MN=$\frac{BC•CE}{BC+CE}$=$\frac{BC•CE}{10}$，
∵BC+CE=10，
∴BC=CE=5时，BC•CE最大=25，
∴MN的最大值=2.5．
故答案为：2.5．

点评 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、三角函数、直角三角形的性质、解方程等知识；本题难度较大，综合性强，需要证明三角形相似和多次运用平行线得出比例式才能得出结果．