Question

3．如图，已知抛物线y=x²-（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴交于D、E两点．
（1）求m的值．
（2）求A、B两点的坐标．
（3）点P（a，b）（-3＜a＜1）是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）抛物线的顶点在x轴的正半轴上可知其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式等于0可求得m的值；
（2）由（1）可求得抛物线解析式，联立一次函数和抛物线解析式可求得A、B两点的坐标；
（3）分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，可先求得△ABC的面积，再利用a、b表示出△PAB的面积，根据面积之间的关系可得到a、b之间的关系，再结合P点在抛物线上，可得到关于a、b的两个方程，可求得a、b的值．

解答 解：
（1）∵抛物线y=x²-（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，
∴方程x²-（m+3）x+9=0有两个相等的实数根，
∴（m+3）²-4×9=0，解得m=3或m=-9，
又抛物线对称轴大于0，即m+3＞0，
∴m=3；
（2）由（1）可知抛物线解析式为y=x²-6x+9，联立一次函数y=x+3，
可得$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-6x+9}\\{y=x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴A（1，4），B（6，9）；
（3）如图，分别过A、B、P三点作x轴的垂线，垂足分别为R、S、T，

∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b），
∴AR=4，BS=9，RC=3-1=2，CS=6-3=3，RS=6-1=5，PT=b，RT=1-a，ST=6-a，
∴S_△ABC=S_梯形ABSR-S_△ARC-S_△BCS=$\frac{1}{2}$×（4+9）×5-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×3×9=15，
S_△PAB=S_梯形PBST-S_梯形ABSR-S_梯形ARTP=$\frac{1}{2}$（9+b）（6-a）-$\frac{1}{2}$（b+4）（1-a）-$\frac{1}{2}$×（4+9）×5=$\frac{1}{2}$（5b-5a-15），
又S_△PAB=2S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$（5b-5a-15）=30，即b-a=15，
∴b=15+a，
∵P点在抛物线上，
∴b=a²-6a+9，
∴15+a=a²-6a+9，解得a=$\frac{7±\sqrt{73}}{2}$，
∵-3＜a＜1，
∴a=$\frac{7-\sqrt{73}}{2}$，
∴b=15+$\frac{7-\sqrt{73}}{2}$=$\frac{37-\sqrt{73}}{2}$．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数与一元二次方程的关系、函数图象的交点及三角形的面积等知识点．在（1）中由顶点在x轴的正半轴上把问题转化为二元一次方程根的问题是解题的关键，在（2）中注意函数图象交点的求法，在（3）中用P点坐标表示出△PAB的面积是解题的关键．本题涉及知识点较多，计算量较大，有一定的难度．