Question

如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．

（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=　 　度．

Answer 1

解：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，
∵在△BCP和△DCP中，，
∴△BCP≌△DCP（SAS）。
（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP。
∵PE=PB，∴∠CBP=∠E。∴∠DPE=∠DCE。

∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，
即∠DPE=∠DCE。
∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC。
∴∠DPE=∠ABC。
（3）58

试题分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可。
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证。
（3）根据（2）的结论解答：
与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，
∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°。