Question

【题目】如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限．

（1）若AC所在直线的函数表达式是y=2x+4．
①求AC的长；
②求点B的坐标；
（2）若（1）中AC的长保持不变，点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x轴的负半轴上滑动．在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①当x=0时，y=2x+4=4，

∴A（0，4）；

当y=2x+4=0时，x=﹣2，

∴C（﹣2，0）．

∴OA=4，OC=2，

∴AC= =2 ．

②过点B作BD⊥x轴于点D，如图1所示．

∵∠ACO+∠ACB+∠BCD=180°，∠ACO+∠CAO=90°，∠ACB=90°，

∴∠CAO=∠BCD．

在△AOC和△CDB中， ，

∴△AOC≌△CDB（AAS），

∴CD=AO=4，DB=OC=2，

OD=OC+CD=6，

∴点B的坐标为（﹣6，2）．

（2）5+
【解析】（2）如图2所示．
取AC的中点E，连接BE，OE，OB，
∵∠AOC=90°，AC=2 ，
∴OE=CE= AC= ，
∵BC⊥AC，BC=2 ，
∴BE= =5，
若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE=5+ ．
若点O，E，B在一条直线上，则OB=OE+BE=5+ ，
∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+ ，
所以答案是：5+ ．

【考点精析】通过灵活运用三角形三边关系和勾股定理的概念，掌握三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边；不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．