Question

【题目】已知，如图（1），PAB为⊙O的割线，直线PC与⊙O有公共点C，且PC2=PA×PB，

（1）求证：∠PCA=∠PBC；直线PC是⊙O的切线；
（2）如图（2），作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，若AD=2，BC=6，求⊙O的半径；

（3）如图（3），若⊙O的半径为 ，PO= ，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一点Q，使得PQ+ QM有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵PC2=PA×PB，

∴ ，

∵∠CPA=∠BPC，

∴△PCA∽△PBC，

∴∠PCA=∠PBC，

作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，

∴∠F+∠FCA=90°，

∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC，

∴∠PCA+∠FCA=90°，

∵PC经过直径的一端点C，

∴直线PC是⊙O的切线

（2）

解：作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，

∵CD⊥AB，

∴AE∥CD，

∴ = ，

∴AD=CE=2，

∵BC=6，

∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：

BE2=CE2+BC2=22+62=40，

∴BE=2 ，

∴R=

（3）

解：取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q，

连接QO、QM，

∵MO=2，

∴OG= OM=1，

∵⊙O的半径r=OQ= ，

∴OQ2=OGOM，

∵∠MOQ=∠QOG，

∴△MOQ∽△QOG，

∴ = ，

∴QG= QM，

∴PQ+ QM=PQ+QG=PG，

根据两点之间线段最短，

此时PQ+ QM=PQ+QG=PG最小，

∴PQ+ QM最小值为PG= = = ．

【解析】（1）根据已知条件得到 ，推出△PCA∽△PBC，根据相似三角形的性质得到∠PCA=∠PBC，作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，得到∠PCA+∠FCA=90°，P过直径的一端点C，于是得到结论；（2）作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，推出AE∥CD，得到 = ，根据勾股定理得到BE=2 ，于是得到结论；（3）取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q，连接QO、QM，得到OG= OM=1，根据相似三角形的性质得到 = ，求得QG= QM，根据两点之间线段最短，即可得到结论．