Question

已知抛物线经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；
（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（1）由于抛物线经过A（2，0），
所以，
解得．
所以抛物线的解析式为．（*）
将（*）式配方，得，
所以顶点P的坐标为（4，-2），
令y=0，得，
解得x₁=2，x₂=6．所以点B的坐标是（6，0）．

（2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形．
理由如下：
设直线PB的解析式为y=kx+b，把B（6，0），P（4，-2）分别代入，得
，
解得，
所以直线PB的解析式为．
又因为直线OD的解析式为，
所以直线PB∥OD．
设直线OP的解析式为y=mx，
把P（4，-2）代入，得，
解得．如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形．
设直线BD的解析式为，
将B（6，0）代入，得0=，
所以所以直线BD的解析式为，
解方程组，
得，
所以D点的坐标为（2，2）．

（3）符合条件的点M存在．验证如下：
过点P作x轴的垂线，垂足为C，则PC=2，AC=2，
由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，
所以△APB是等边三角形，
只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点，
连接PM，BM，由于AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP，
可得△AMP≌△AMB．
因此即存在这样的点M，使△AMP≌△AMB．
分析：（1）由于抛物线经过A（2，0），将A点坐标代入解析式即可b的值，从而得到H二次函数解析式，配方后可得顶点坐标，令y=0解方程可得B点坐标；
（2）求出直线PB的解析式，由于该直线与OD的比例系数相同，故得到PB∥OD
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为C，证出△APB是等边三角形，作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM，BM，由AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP得到△AMP≌△AMB．
可见，存在点M，使△AMP≌△AMB．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定等知识，综合性很强，旨在考查同学们的逻辑思维能力、综合运用能力．