Question

有一列数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆，…，第1个数a₁=0，第2个数a₂=1，且从第2个数起，每一个数都等于它的前后两个数之和，即a₂=a₁+a₃，a₃=a₂+a₄，a₄=a₃+a₅，a₅=a₄+a₆，…．
据此可得，a₃=a₂-a₁=1-0=1
a₄=a₃-a₂=1-1=0
a₅=a₄-a₃=0-1=-1
a₆=a₅-a₄=-1-0=-1
…
请根据该列数的构成规律计算：
（1）a₇=

0

，a₈=

1

；
（2）a₁₂=

-1

，a₂₀₁₂=

1

；
（3）计算这列数的前2012个数的和a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+…+a₂₀₁₂．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=0，a₂=1，再根据a₂=a₁+a₃，a₃=a₂+a₄，a₄=a₃+a₅，a₅=a₄+a₆，…，即可求出a₇、a₈的值．
（2）从（1）中找出规律，6个数一个循环，根据这规律再把所要求的数代入即可求出答案；
（3）根据（1）得出的规律，6个数相加得0，即可求出答案．

解答：解：（1）∵a₃=a₂-a₁=1-0=1
a₄=a₃-a₂=1-1=0
a₅=a₄-a₃=0-1=-1
a₆=a₅-a₄=-1-0=-1
∴a₇=a₆-a₅=-1+1=0，
∴a₈=a₇-a₆=0+1=1；
（2）12÷6=2，
∴a₁₂=-1，
∴2012÷6=335…2，
∴a₂₀₁₂=1； 
 （3）根据（1）中6个数相加等于0，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+…+a₂₀₁₂=0+0+…+0+1=1．
故答案为：0，1，-1，1．

点评：此题考查了数字的变化类；解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．