Question

13．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，M、N分别在OA、OB上，且OM=ON．
（1）求证：
①BM=CN；
②CN⊥BM；
（2）若M、N分别在OA、OB的延长线上，则（1）中的两个结论仍成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①延长CN交BM于P，由四边形ABCD是正方形，得到OC=OB，∠COB=∠BOA=90°，于是推出△CON≌△BOM，结论可得，②根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）成立，延长MB交CN于P，通过证明△CON≌△BOM，得到BM=CN，∠ONC=∠OMB根据等角的余角相等即可得到结论．

解答 （1）①证明；如图1，延长CN交BM于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠COB=∠BOA=90°，
在△CON与△BOM中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COB=∠BOA}\\{ON=OM}\end{array}\right.$，
∴△CON≌△BOM，
∴BM=CN，
②∵△CON≌△BOM，
∴∠OCN=∠OBM，
∵∠OBM+∠OMB=90°，
∴∠OCP+∠OMB=90°，
∴∠CPM=90°，
∴CN⊥BM；

（2）成立，
证明；如图2，延长MB交CN于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠COB=∠BOA=90°，
在△CON与△BOM中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠COB=∠BOA}\\{ON=OM}\end{array}\right.$，
∴△CON≌△BOM，
∴BM=CN，∠ONC=∠OMB
∵∠CNO+∠OCN=90°，
∴∠OMP+∠OCN=90°，
∴∠CPM=90°，
∴CN⊥BM．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键．