Question

6．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．
（1）求证：直线BC是⊙O的切线；
（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）连结OB．由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°结论可得；
（2）连结DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AD}{AP}$，即可得到结果．

解答 （1）证明：连结OB．
∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，
又∵BC=PC，
∴∠P=∠CBP，
∵OP⊥AD，
∴∠A+∠P=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∴∠OBC=180°-（∠OBA+∠CBP）=90°，
∵点B在⊙O上，
∴直线BC是⊙O的切线，

（2）解：如图，连结DB．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴Rt△ABD∽Rt△AOP，
∴$\frac{AB}{AO}$=$\frac{AD}{AP}$，即 $\frac{2}{3}$=$\frac{6}{AP}$，AP=9，
∴BP=AP-BA=9-2=7．

点评 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．