如图.抛物线y=ax2+2ax位于x轴上方的图象记为F1.它与x轴交于P1.O两点.图象F2与F1关于原点O对称.F2与x轴的另一个交点为P2.将F1与F2同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F3与F4,再将F3与F4同时沿x轴向右平移P1P2的长度即可得到F5与F6,-,按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F1.F2.-.Fn．我们把这组图象� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，抛物线y=ax²+2ax（a＜0）位于x轴上方的图象记为F₁，它与x轴交于P₁、O两点，图象F₂与F₁关于原点O对称，F₂与x轴的另一个交点为P₂，将F₁与F₂同时沿x轴向右平移P₁P₂的长度即可得到F₃与F₄；再将F₃与F₄同时沿x轴向右平移P₁P₂的长度即可得到F₅与F₆；…；按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象F₁，F₂，…，F_n．我们把这组图象称为“波浪抛物线”．
（1）当a=-1时，①求图象F₁的顶点坐标；②点H（2014，-3）

（填“在”或“不在”）该“波浪抛物线”上；若图象F_n的顶点T_n的横坐标为201，则图象F_n对应的解析式为

，其自变量x的取值范围为

．
（2）设图象F_n、F_n+1的顶点分别为T_n、T_n+1（n为正整数），x轴上一点Q的坐标为（12，0）．试探究：当a为何值时，以O、T_n、T_n+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时n的值．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）①直接把a=-1代入抛物线的解析式即可得出结论；
②根据该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和-1即可得出结论；
（2）设OQ中点为O′，则线段T_nT_n+1经过O′，再根据图形平移的性质即可得出结论．

解答：解：（1）当a=-1时，①y=ax²+2ax=-x²-2x=-（x+1）²+1，
∴图象F₁的顶点坐标为：（-1，1）；
②∵该“波浪抛物线”顶点坐标纵坐标分别为1和-1，
∴点H（2014，-3），不在该“波浪抛物线”上，
∵图象F_n的顶点T_n的横坐标为201，
201÷4=50…1，故其图象与F₂，F₄…形状相同，
则图象F_n对应的解析式为：y=（x-201）²-1，
其自变量x的取值范围为：200≤x≤202．
故答案为：不在，y=（x-201）²-1，200≤x≤202．

（2）设OQ中点为O′，则线段T_nT_n+1经过O′，
由题意可知OO′=O′Q，O′Tn=O′T_n+1，
∴当T_nT_n+1=OQ=12时，四边形OT_nT_n+1Q为矩形，
∴O′T_n+1=6，
∵F₁对应的解析式为y=a（x+1）²-a，
∴F₁的顶点坐标为（-1，-a），
∴由平移的性质可知，点T_n+1的纵坐标为-a，
∴由勾股定理得（-a）²+1²=6²，
∴a=±

，
∵a＜0，
∴a=-

，故此时n的值为4．

点评：本题考查的是二次函数综合题，熟知二次函数平移的性质、二次函数的最值问题是解答此题的关键．

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