【题目】定义:对于给定的两个函数,任取自变量x的一个值,当x<0时,它们对应的函数值互为相反数;当x≥0时,它们对应的函数值相等,我们称这样的两个函数互为相关函数.例如:一次函数y=x﹣1,它们的相关函数为.
(1)已知点A(﹣3,6)在一次函数y=ax﹣3的相关函数的图象上,求a的值;
(2)已知二次函数y=-2x2+3.
①当点B(m,3)在这个函数的相关函数的图象上时,求m的值;
②当﹣2≤x≤2时,求函数y=-2x2+3的相关函数的最大值和最小值.
【答案】(1)a=1;(2)①0或;②最大值为5,最小值为-5
【解析】
(1)写出y=ax-3的相关函数,代入计算;
(2)①写出二次函数的相关函数,代入计算;
②根据二次函数的最大值和最小值的求法解答.
(1)y=ax3的相关函数
将A(3,6)代入y=ax+3得:3a+3=3,
解得a=1;
(2)二次函数的相关函数为
①当m<0时,将B(m,3)代入
得
解得: (舍去),或
当时,将B(m,3)代入
得:
解得:m=0.
综上所述:m=0或
②当时,
,抛物线的对称轴为
轴,
此时y随x的增大而减小,
∴此时y的最大值为5,
当时,函数
,抛物线的对称轴为
轴,
当x=0有最大值,最大值为3,当x=2时,有最小值,最小值5,
综上所述,当时,函数
的相关函数的最大值为5,最小值为5.>
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【题目】如图,点E是矩形ABCD边AB上一动点(不与点B重合),过点E作EF⊥DE交BC于点F,连接DF.已知AB = 4cm,AD = 2cm,设A,E两点间的距离为xcm,△DEF面积为ycm2.小明根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)确定自变量x的取值范围是 ;
(2)通过取点、画图、测量、分析,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | … |
y/cm2 | 4.0 | 3.7 | 3.9 | 3.8 | 3.3 | 2.0 | … |
(说明:补全表格时相关数值保留一位小数)
(3)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(4)结合画出的函数图象,解决问题:当△DEF面积最大时,AE的长度为 cm.
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【题目】如图,l1 与 l2 交于点 P,l2 与 l3 交于点 Q,∠l=104°,∠2=87°,要使得 l1∥l2,下列操作正确的是( )
A. 将 l1 绕点 P 逆时针旋转 14°
B. 将 l1 绕点 P 逆时针旋转 17°
C. 将 l2 绕点 Q 顒时针旋转 11°
D. 将 l2 绕点 Q 顺时针旋转 14°
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【题目】定义:如果两条线段将一个三角形分成 3个等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”.例如:如图①,线段、
把一个顶角为
的等腰
分成了 3个等腰三角形,则线段
、
就是等腰
的“三分线”.
(1)图②是一个顶角为 45°的等腰三角形,在图中画出“三分线”,并标出每个等腰三角形顶角的度数.
(2)如图③,在边上取一点
,令
可以分割出第一个等腰
,接着又需要考虑如何将
分成2个等腰三角形,即可画出所需要的“三分线”,类比该方法,在图④中画出
的“三分线”,并标出每个等腰三角形顶角的度数;
(3)在中,
,
,
.
①画出;(尺规画图,不写作法,保留作图痕迹)
②画出的“三分线”,并做适当的标注.
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【题目】在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的顶点都在正方形网格的格点(网格线的交点)上.
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系,使点A坐标为(1,3)点B坐标为(2,1);
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C',并写出点C'的坐标;
(3)判断△ABC的形状.并说明理由.
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【题目】已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为P点,已知△OAP的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且点B的横坐标为2,在x轴上求一点M,使MA+MB最小.
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【题目】已知,如图,O为坐标原点,四边形OABC为矩形,B(5,2),点D是OA的中点,动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动.设动点P的运动时间为t秒
(1)当t为何值时,四边形PODB是平行四边形?
(2)在直线CB上是否存在一点Q,使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形?若存在,求t的值,并求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在线段PB上有一点M,且PM=2.5,当P运动多少,四边形OAMP的周长最小值为多少,并画图标出点M的位置.
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【题目】如图,已知点,动点
从原点
出发,沿
轴正半轴运动,速度为每秒1个单位长度,以点
为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形
.设点
的运动时间为
秒.
(1)若轴,求
的值;
(2)若,求点
的坐标.
(3)当时,
轴上是否存在有一点
,使得以
、
、
为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出点
的坐标.
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