Question

【题目】如图，已知点，动点从原点出发，沿轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以点为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形．设点的运动时间为秒．

（1）若轴，求的值；

（2）若，求点的坐标．

（3）当时，轴上是否存在有一点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）（6，2）；（3）点M的坐标为（，0）或（-3，0）或（8，0）或（-2，0）．

【解析】

（1）由AB∥x轴，可找出四边形ABCO为长方形，再根据△APB为等腰三角形可得知∠OAP=45°，从而得出△AOP为等腰直角三角形，由此得出结论；

（2）作BQ⊥x轴于点Q，证△OAP≌△QPB得BQ=OP=OA=2，PQ=AO=4，据此知OQ=OP+PQ=6，从而得出答案；

（3）设点M（x，0），知MA=，MP=|x-3|，再分MA=MP，MA=AP，AP=MP，分三种情况求解可得．

解：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图1所示．

∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，

∴四边形ABCO为长方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB为等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°∠PAB=45°，

∴△AOP为等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4（秒），

故t的值为4；

（2）如图2，过点B作BQ⊥x轴于点Q，

∴∠AOP=∠BQP=90°，

∴∠OAP+∠OPA=90°，

∵△ABP为等腰直角三角形，

∴PA=PB，∠APB=90°，

∴∠AOP+∠BPQ=90°，

∴∠OAP=∠QPB，

∴△OAP≌△QPB（AAS），

∴BQ=OP=OA=2，PQ=AO=4，

则OQ=OP+PQ=6，

∴点B的坐标为（6，2）；

（3）当t=3时，即OP=3，

∵OA=4，

∴AP=5，

设点M（x，0），

则MA==，MP=|x-3|，

①MA=MP时，

=|x-3|，

解得x=；

②当MA=AP时，

=5，

解得x=-3或x=3（舍去）；

③当AP=MP时，|x-3|=5，

解得：x=8或x=-2；

综上所述，点M的坐标为（，0）或（-3，0）或（8，0）或（-2，0）．