【题目】如图,在△ABC中,AB=13,AC=12,BC=5,以边AB的中点O为圆心,作半圆与AC相切,点P,Q分别是边BC和半圆上的动点,连接PQ,则PQ长的最大值与最小值的和等于( )
A. 7.5 B. 10 C. 12.5 D. 13
【答案】C
【解析】
如图,设⊙O与AC相切于点E,连接OE,作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1,此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1-OQ1,求出OP1,如图当Q2在AB边上时,P2与B重合时, P2Q2最大值=6.5+2.5=9,由此解决问题.
解:如图,设⊙O与AC相切于点E,连接OE,作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1,此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1-OQ1,
∵AB=13,AC=12,BC=5,
∴AB2=AC2+BC2,
∴∠C=90°,
∵∠OP1B=90°,
∴OP1∥AC,
∵AO=OB,
∴P1C=P1B,
∴OP1=AC=6,
∴P1Q1最小值为OP1-OQ1=3.5,
如图,当Q2在AB边上时,P2与B重合时,P2Q2经过圆心,经过圆心的弦最长,
P2Q2最大值=6.5+2.5=9,
∴PQ长的最大值与最小值的和是12.5.
故选:C.
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【题目】已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为P点,已知△OAP的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且点B的横坐标为2,在x轴上求一点M,使MA+MB最小.
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【题目】阅读下面材料:
小丁在研究数学问题时遇到一个定义:对于排好顺序的k个数:x1,x2,…,xk,称为数列Ak:x1,x2,…,xk,其中k为整数且k≥3.
定义V(Ak)=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+…+|xk﹣2﹣xk﹣1|+|xk﹣1﹣xk|.
例如,若数列A5:1,2,3,4,5,则V(A5)=|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|=4.
根据以上材料,回答下列问题:
(1)已知数列A3:3,5,﹣2,求V(A3).
(2)已知数列A4:x1,x2,x3,x4,其中x1,x2,x3,x4为4个互不相等的整数,且x1=3,x4=7,V(A4)=4,直接写出满足条件的数列A4.
(3)已知数列A5:x1,x2,x3,x4,x5中的5个数均为非负整数,且x1+x2+x3+x4+x5=25,请直接写出V(A5)的最大值和最小值及对应的数列.
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【题目】如图,已知点,动点
从原点
出发,沿
轴正半轴运动,速度为每秒1个单位长度,以点
为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形
.设点
的运动时间为
秒.
(1)若轴,求
的值;
(2)若,求点
的坐标.
(3)当时,
轴上是否存在有一点
,使得以
、
、
为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出点
的坐标.
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【题目】如图,三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=12km,AC=5km,BC=13km,要从A修一条公路AD直达BC,已知公路的造价为26000元/km,求这条公路的最低造价是多少万元?
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【题目】如图,某小区计划在一个长 80米,宽 36米的长方形场地 ABCD上,修建三条同样宽的道路,使其中两条与 AB平行,另一条与 AD平行,其余部分种草,若使每块草坪的面积 都为 260平方米,求道路的宽度.设道路宽度为 x米,则根据题意可列方程为( )
A.(80-2x)(36-x)=260×6B.36×80-2×36x-80x=260×6
C.(36-2x)(80-x)=260D.(80-2x)(36-x)=260
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【题目】如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
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【题目】已知,抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当a>0时,如图所示,若点D是第三象限方抛物线上的动点,设点D的横坐标为m,三角形ADC的面积为S,求出S与m的函数关系式,并直接写出自变量m的取值范围;请问当m为何值时,S有最大值?最大值是多少.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l1:y=k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点,且OB=OA,直线l2:y=k2x+b经过点C(
,1),与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点.
(1)求直线l1的解析式;
(2)如图1,连接CB,当CD⊥AB时,求点D的坐标和△BCD的面积;
(3)如图2,当点D在直线AB上运动时,在坐标轴上是否存在点Q,使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.
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