【题目】问题情景:数学课上,老师布置了这样一道题目,如图1,△ABC是等边三角形,点D是BC的中点,且满足∠ADE=60°,DE交等边三角形外角平分线于点E.试探究AD与DE的数量关系.
操作发现:(1)小明同学过点D作DF∥AC交AB于F,通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题,请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系,并进行证明.
类比探究:(2)如图2,当点D是线段BC上任意一点(除B、C外),其他条件不变,试猜想AD与DE之间的数量关系,并证明你的结论.
拓展应用:(3)当点D在线段BC的延长线上,且满足CD=BC,在图3中补全图形,直接判断△ADE的形状(不要求证明).
【答案】(1)AD=DE,见解析;(2)AD=DE,见解析;(3)见解析,△ADE是等边三角形,
【解析】
(1)根据题意,通过平行线的性质及等边三角形的性质证明即可得解;
(2)根据题意,通过平行线的性质及等边三角形的性质证明即可得解;
(3)根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.
(1)如下图,数量关系:AD=DE.
证明:∵是等边三角形
∴AB=BC,
∵DF∥AC
∴,∠BDF=∠BCA
∴
∴是等边三角形,
∴DF=BD
∵点D是BC的中点
∴BD=CD
∴DF=CD
∵CE是等边的外角平分线
∴
∵是等边三角形,点D是BC的中点
∴AD⊥BC
∴
∵
∴
在与
中
∴
∴AD=DE;
(2)结论:AD=DE.
证明:如下图,过点D作DF∥AC,交AB于F
∵是等边三角形
∴AB=BC,
∵DF∥AC
∴
∴
∴是等边三角形,
∴BF=BD
∴AF=DC
∵CE是等边的外角平分线
∴
∵∠ADC是的外角
∴
∵
∴∠FAD=∠CDE
在与
中
∴
∴AD=DE;
(3)如下图,是等边三角形.
证明:∵
∴
∵CE平分
∴CE垂直平分AD
∴AE=DE
∵
∴是等边三角形.
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【题目】如图,已知△ABC.
(1)求作点P,使点P到B、C两点的距离相等,且点P到∠BAC两边的距离也相等(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法).
(2)在(1)中,连接PB、PC,若∠BAC=40°,求∠BPC的度数.
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【题目】阅读下面材料:
小丁在研究数学问题时遇到一个定义:对于排好顺序的k个数:x1,x2,…,xk,称为数列Ak:x1,x2,…,xk,其中k为整数且k≥3.
定义V(Ak)=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+…+|xk﹣2﹣xk﹣1|+|xk﹣1﹣xk|.
例如,若数列A5:1,2,3,4,5,则V(A5)=|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|=4.
根据以上材料,回答下列问题:
(1)已知数列A3:3,5,﹣2,求V(A3).
(2)已知数列A4:x1,x2,x3,x4,其中x1,x2,x3,x4为4个互不相等的整数,且x1=3,x4=7,V(A4)=4,直接写出满足条件的数列A4.
(3)已知数列A5:x1,x2,x3,x4,x5中的5个数均为非负整数,且x1+x2+x3+x4+x5=25,请直接写出V(A5)的最大值和最小值及对应的数列.
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【题目】请将下列事件发生的概率标在图中:
(1)从高处抛出的物体必落到地面;
(2)从装有个红球的袋子中任取一个,取出的球是白球;
(3)月亮绕着地球转;
(4)从装有个红球、
个白球的口袋中任取一个球,恰好是红球(这些球除颜色外完全相同);
(5)三名选手抽签决定比赛顺序(有三个签,分别写有,
,
),抽到写有
的签.
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【题目】如图,已知点,动点
从原点
出发,沿
轴正半轴运动,速度为每秒1个单位长度,以点
为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形
.设点
的运动时间为
秒.
(1)若轴,求
的值;
(2)若,求点
的坐标.
(3)当时,
轴上是否存在有一点
,使得以
、
、
为顶点的三角形是等腰三角形,请直接写出点
的坐标.
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【题目】如图,三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=12km,AC=5km,BC=13km,要从A修一条公路AD直达BC,已知公路的造价为26000元/km,求这条公路的最低造价是多少万元?
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【题目】如图,点O是△ABC内一点,连结OB、OC,并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结,得到四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形;
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和∠OCB互余,求DG的长度.
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【题目】牛奶是最古老的天然饮料之一,被誉为“白色血液”,对人体的重要性可想而知,现已成为国家营养餐计划备选食品之一.为推行国家营养餐计划,某乳品公司向某营养餐中心运输一批牛奶,由铁路运输每千克只需运费0.58 元;由公路运输,每千克需运费0.28元,还需其他费用600元.请探究选用哪种运输方式所需费用较少?
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