Question

【题目】问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE的数量关系．

操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．

类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直接判断△ADE的形状(不要求证明)．

Answer 1

【答案】（1）AD＝DE，见解析；（2）AD＝DE，见解析；（3）见解析，△ADE是等边三角形，

【解析】

（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明即可得解；

（2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明即可得解；

（3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.

（1）如下图，数量关系：AD＝DE.

证明：∵是等边三角形

∴AB＝BC，

∵DF∥AC

∴，∠BDF＝∠BCA

∴

∴是等边三角形，

∴DF＝BD

∵点D是BC的中点

∴BD＝CD

∴DF＝CD

∵CE是等边的外角平分线

∴

∵是等边三角形，点D是BC的中点

∴AD⊥BC

∴

∵

∴

在与中

∴

∴AD＝DE；

（2）结论：AD＝DE.

证明：如下图，过点D作DF∥AC，交AB于F

∵是等边三角形

∴AB＝BC，

∵DF∥AC

∴

∴

∴是等边三角形，

∴BF＝BD

∴AF＝DC

∵CE是等边的外角平分线

∴

∵∠ADC是的外角

∴

∵

∴∠FAD＝∠CDE

在与中

∴

∴AD＝DE；

（3）如下图，是等边三角形.

证明：∵

∴

∵CE平分

∴CE垂直平分AD

∴AE=DE

∵

∴是等边三角形.