Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．

（1）求证：点E是的中点；

（2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）若sin∠BAD=，⊙O的半径为5，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）

【解析】

(1) 连接OD，根据平行的性质得到∠A=∠COB，再证明∠DOC=∠BOC即可得到答案；

(2)先根据题意的大△COD≌△COB，再根据全等三角形的性质以及BC⊥AB于点B即可证明；

(3)先根据sin∠BAD=，设DG=4x，AD=5x再根据勾股定理求解即可得到答案；

（1）证明：连接OD，

∵AD∥OC，

∴ ∠A=∠COB（两直线平行，同位角相等），

又∵∠A=∠BOD（同弧圆心角等于圆周角的2倍），

∴∠BOC=∠BOD；

∴∠DOC=∠BOC；

∴，则点E是的中点；

（2）证明：如图所示：

由（1）知∠DOE=∠BOE，

∵CO=CO，OD=OB，

∴ △COD≌△COB；

∴∠CDO=∠B；

又∵BC⊥AB，

∴ ∠CDO=∠B=90°；

∴CD是⊙O的切线；

（3）解：在△ADG中，

∵sin∠BAD=，

设DG=4x，AD=5x；

∵ DF⊥AB，

∴ AG=3x；

又∵⊙O的半径为5，

∴ OG=5﹣3x；

∵ OD2=DG2+OG2，

∴，

∴ x1= ，x2=0；（舍去）

∴ DF=2DG=2×4x=8x=；