Question

【题目】如图，在△ABC中，G为边AB中点，∠AGC＝α．Q为线段BG上一动点（不与点B重合），点P在中线CG上，连接PA，PQ，记BQ＝kGP．

（1）若α＝60°，k＝1，

①当BQ＝BG时，求∠PAG的度数．

②写出线段PA、PQ的数量关系，并说明理由．

（2）当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①30°；②PA＝PQ，见解析；（2）存在，k＝，理由见解析

【解析】

（1）①在GC上取点M，使得GM＝GA，连接AM，再说明△AGM是等边三角形，进而得到AG=BG=2BQ，从而判定GP=MP，即AP平分∠MAG即可解答；②先说明△PGN是等边三角形，进而得到GQ=AN，从而证明△ANB≌△QGP即可解答；

（2）先说明PH=PG，∠PHA=∠PGQ=135°，得出HG=BQ，再判断出AH=GQ,进而得出△AHP≌△QGP即可．

解：（1）①如图1，在GC上取点M，使得GM＝GA，连接AM，

∵∠AGM＝α＝60°，

∴△AGM为等边三角形，

∴AG＝GM，∠MAG＝60°，

∵G为AB的中点，Q为GB的中点，

∴AG＝BG＝2BQ，

∵k＝1，

∴BQ＝GP，

∴GM＝AG＝BG＝MG＝2GP，

∴GP＝MP，

∴AP平分∠MAG，

∴∠PAG＝∠PAM＝30°；

②如图2，在AG上取点N，连接PN，使得PN＝PG，

∵∠PGN＝60°，

∴△PGN是等边三角形，

∵BG＝GA，

∴BQ＝PG＝PN＝NG＝GQ，

∴GQ＝AN，

∵∠ANP＝∠QGP，

∴△ANB≌△QGP（SAS），

∴PA＝PQ；

（2）存在，k＝，使得②中的结论成立；

证明：如图3，过点P作PG的垂线交AG于点H．

∵∠AGC＝45°，

∴∠PHG＝45°，

∴PH＝PG，∠PHA＝∠PGQ＝135°，

∵，，

∴HG＝BQ，

∵AG＝BG，

∴AH＝GQ．

∴△AHP≌△QGP（SAS）

∴PA＝PQ．