Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t(秒)．

（1）当t＝1时，得到P1、Q1，求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l；

（2）当t为何值时，直线PQ与⊙C相切？并写出此时点P和点Q的坐标；

（3）在(2)的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NP＋NQ最小，求出点N的坐标并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝， l：x＝；（2）t=2时，PQ与⊙C相切，P（2，8），Q（8，0）；（3）N（1，7），理由见解析．

【解析】

（1）先求出t＝1时P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式，进而可求出对称轴l的解析式；

（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ，根据平行线的性质、角平分线的性质和三角形的内角和可得∠PCQ＝90°，则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PQ与圆C的切点），然后根据相似三角形的性质即可求出t的值；

（3）本题是典型的“将军饮马”问题，解题的关键是确定N的位置，可先利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后作出P点关于直线l的对称点P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点，至此只要求出直线P′Q的解析式，即可求出N点的坐标，问题即得解决．

解：（1）当t＝1时，AP1=1，OQ1=4，则A、P1、Q1的坐标分别为A（0，8）、P1（1，8）、Q1（4，0），

设所求抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则，解得：

∴抛物线的解析式为y＝，对称轴为直线l：x＝；

（2）设PQ与⊙C相切于点M，如图1，连接CP、CM、CQ，则PA＝PM＝t，QO＝QM＝4t，

∵CP、CQ分别平分∠APQ和∠OQP，∴，，

∵∠APQ+∠OQP＝180°，∴∠CPQ+∠CQP=90°，

∴∠PCQ＝=90°，

∵CM⊥PQ，∴可得Rt△CMP∽Rt△QMC，

∴，即，∴t=±2，

由于时间t只能取正数，所以t=2，即当运动时间t=2秒时，PQ与⊙C相切．

此时：P（2，8），Q（8，0）；

（3）∵A（0，8），P（2，8），Q（8，0），∴设此时抛物线的解析式为，

把A，P，Q代入，得：，解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝，此时抛物线的对称轴为直线l：x＝1，

作点P关于直线l的对称点P'，如图2，则P'（0，8），即为点A，设P'Q与直线x＝1交于点N，则此时NP＋NQ最小，

∵P'（0，8），Q（8，0），∴直线P'Q的解析式为：y＝﹣x+8，当x＝1时，y＝﹣1+8＝7．

因此N点的坐标为（1，7）．