Question

5．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，OD⊥AB，连接CD，过D作DE垂直于BC于E，AB=8，CD=6，求BE的长．

Answer 1

分析 连结DA、DB，如图，根据垂径定理得到$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，则DA=DB，∠DCA=∠DCB，再利用圆周角定理得∠ACB=∠ADB=90°，所以△ADB为等腰直角三角形，∠DCB=45°，则利用等腰直角三角形的性质可计算出DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=3$\sqrt{2}$，DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，然后在Rt△BDE中利用勾股定理可计算出BE．

解答 解：连结DA、DB，如图，
∵OD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴DA=DB，∠DCA=∠DCB，
∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴△ADB为等腰直角三角形，∠DCB=45°，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=3$\sqrt{2}$，DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
在Rt△BDE中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．本题的关键是判断△ADB和△CDE为等腰直角三角形．