Question

14．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，E是BC中点，F是AD中点．求证：直线AB、CD、EF交于一点P．

Answer 1

分析 假设直线AB、CD交于点P，直线AB、EF交于点P′．由AD∥BC，得出△PAD∽△PBC，根据相似三角形对应边成比例得出$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AD}{BC}$，而AD=2AF，BC=2BE，那么$\frac{PA}{PB}$=$\frac{2AF}{2BE}$=$\frac{AF}{BE}$；由AF∥BE，得出△P′AF∽△P′BE，根据相似三角形对应边成比例得出$\frac{P′A}{P′B}$=$\frac{AF}{BE}$，等量代换得到$\frac{PA}{PB}$=$\frac{P′A}{P′B}$，根据比例的性质得出$\frac{PA}{AB}$=$\frac{P′A}{AB}$，又P、P′都在BA的延长线上，所以P、P′重合，从而证明直线AB、CD、EF交于一点P．

解答 证明：如图，假设直线AB、CD交于点P，直线AB、EF交于点P′．
∵AD∥BC，
∴△PAD∽△PBC，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AD}{BC}$，
∵AD=2AF，BC=2BE，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{2AF}{2BE}$=$\frac{AF}{BE}$；
∵AF∥BE，
∴△P′AF∽△P′BE，
∴$\frac{P′A}{P′B}$=$\frac{AF}{BE}$，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{P′A}{P′B}$，
∴$\frac{PA}{AB}$=$\frac{P′A}{AB}$，
又P、P′都在BA的延长线上，
∴P、P′重合，
∴直线AB、CD、EF交于一点P．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，证明出$\frac{PA}{PB}$=$\frac{P′A}{P′B}$，再根据比例的性质得出$\frac{PA}{AB}$=$\frac{P′A}{AB}$是解题的关键．