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    请阅读下列材料：
    已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
    （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
    （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
    （3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．

    【答案】分析：（1）DE2=BD2+EC2，将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE，容易证明△AFD≌△ABD，然后可以得到AF=AB，FD=DB，∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，再利用已知条件可以证明△AFE≌△ACE，从而可以得到∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，根据勾股定理即可证明猜想的结论；
    （2）根据（1）的思路一样可以解决问题；
    （3）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（1）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA，然后可以得到AD=DF，EF=BE．由此可以得到∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°，这样就可以解决问题．
    解答：解：（1）DE2=BD2+EC2；

    （2）关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．
    证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE
    ∴△AFD≌△ABD，
    ∴AF=AB，FD=DB，
    ∠FAD=∠BAD，∠AFD=∠ABD，
    又∵AB=AC，
    ∴AF=AC，
    ∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，
    ∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB）=45°+∠DAB，
    ∴∠FAE=∠EAC，
    又∵AE=AE，
    ∴△AFE≌△ACE，
    ∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°
    ∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°，
    ∴在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，
    即DE2=BD2+EC2；

    （3）当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．
    如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF=∠ECB，在CF上截取CF=CB，
    可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．
    ∴AD=DF，EF=BE．
    ∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°．
    若使△DFE为等腰三角形，只需DF=EF，即AD=BE，
    ∴当AD=BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．
    点评：此题比较复杂，考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、勾股定理的应用等知识点，此题关键是正确找出辅助线，通过辅助线构造全等三角形解决问题，要掌握辅助线的作图根据．
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    25、请阅读下列材料：
    已知：如图1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45度．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．
    小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
    （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
    （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    11、请阅读下列材料：
    已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
    （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
    （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
    （3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    请阅读下列材料：已知方程x2+x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
    解：设所求方程的根为y，则y=2x．
    所以x=
    y
    2
    ．
    把x=
    y
    2
    代入已知方程，得（
    y
    2
    ）2+
    y
    2
    -3=0，化简，得y2+2y-12=0．
    故所求方程为y2+2y-12=0．
    这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
    问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    请阅读下列材料：
    已知：如图1在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45度．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．
    小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
    （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
    （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    请阅读下列材料：

    已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连结E′D，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

    （1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；                     

    （2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件 不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.

                                                                 

     图（2）

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